2004年大検数学解答 ｍｅｍｏ()
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| Last update: 2005/10/10 (05/07/07作成) | ||||||
[１]１．二次関数 ｙ＝−(ｘ−１)2＋２ の概形として、最も適当なものはどれか？
次図(1)〜(4)から選び番号を解答欄[ア]に記入せよ
[解]：(1)二次項の符号が負だから上に凸、(2)対称軸のｘ座標はｘ＝１、
(3)頂点のｙ座標は＋２、すなわち頂点(１，２)。
従って正答は(4)図：[ア]＝[４]
[１]２．二次関数 ｙ＝ｘ2＋６ｘ のグラフの頂点の座標は([イウ]，[エオ]) である。
[解]：対称軸のｘ座標＝−Ｂ／２Ａだから、ｘ＝−６／２＝−３
このときのｙ座標は ｙ(−３)＝９−６・３＝−９ だから解答は
([イウ]，[エオ])＝(−３，−９) が頂点の座標
[１]３．二次関数 ｙ＝(ｘ−２)2＋１ において､ｘの変域を０≦ｘ≦３とするとき、
ｙの変域は[カ]≦ｙ≦[キ]である。
[解]：二次項の係数が正だから下に凸、
対称軸のｘ座標は −Ｂ／２Ａ＝−(−４)／２＝２ ……(範囲内なので極値になる)
ｙ(２)＝＋１ …… 最小値
ｙ(０)＝＋５ …… 最大値
ｙ(３)＝＋２
従って ｙの変域[カ]≦ｙ≦[キ]は[１]≦ｙ≦[５]
[１]４．二次関数ｙ＝ｘ2−３ｘ＋１ のグラフとｘ軸との共有点のｘ座標は
ｘ＝{[ク]±√[ケ]}／[コ] である。
[解]：ｘ軸とはｙ＝0 の線。従ってこれは二次方程式そのもの。
解の公式通り、ｘ＝{[３]±√[３2−４・１・１]}／[２]
＝ {[３]±√[５]}／[２]
[１]５．二次関数 ｙ＝ｘ2−８ｘ＋ｋ （ｋは定数）のグラフがｘ軸と接するとき、
ｋの値は[サシ]である。
[解]：判別式＝0 で重根：ｙ＝0 と接するから ８2−４・１・ｋ＝０
ｋ＝１６＝[サシ]
[１]６．右の図は、二次関数 ｙ＝(ｘ＋２)(ｘ−３) のグラフである。
二次不等式 (ｘ＋２)(ｘ−３)≦0 の解はどれか。
(1)〜(4)のうちから正しいものの番号を一つ選べ。
[解]：ｘ切片(ｙ＝0 になる点)は、何れかの項の()内が０、即ち､ｘ＝３ or −２、対称軸のｘ座標はｘ＝(３−２)／２＝１／２、２次項の係数が正だから下に凸、従って、式の値が負になるのは、ｘ軸以下の部分すなわち −２≦ｘ≦３ が２次不等式の解。
[ス]＝[１]
| 角度 | 正弦 sin | 余弦 cos | 正接 tan | |
|---|---|---|---|---|
| 69° | 0.9336 | 0.3548 | 2.6051 | |
| 70° | 0.9397 | 0.3420 | 2.7475 | |
| 71° | 0.9455 | 0.3256 | 2.9042 | |
| 72° | 0.9511 | 0.3090 | 3.0777 | |
| 73° | 0.9563 | 0.2924 | 3.2709 | |
(1)69°以上70°未満
(2)70°以上71°未満
(3)71°以上72°未満
(4)72°以上73°未満
[解]：題意から、cosＢ＝底辺／斜辺＝１／３ だから、
70°〜71°の間で、[ア]＝(2)項に相当する。
[２]２．cos 108°の値は(1)(4)のどれが最も適当か番号を選べ
(1) 0.9511
(2) −0.9511
(3) 0.3090
(4) −0.3090
[解]：cos(108°)＝−cos(180−108)＝−cos 72°≒−0.3090 従って[イ]＝[4]
[３]１．tan 120°の値はどれか｡次の(1)〜(4)のうち正しい番号を選べ[ア]
(1)√３、(2)−√３、(3)１／√３、(4)−１／√３
[解]：tan 120°＝−tan(180−120)°＝−tan 60°＝−√３ 従って[ア]＝[1]
[３]２．Ａが鋭角で、sinＡ＝３／５のとき、cosＡ＝[イ]／[ウ]である。
[解]：三平方の定理(ピタゴラス数)より、斜辺５：対辺３：であれば、底辺４であるから、cosＡ＝４／５＝[イ]／[ウ]となる。
[３]３．右の図の三角形ＡＢＣにおいて、AB＝８cm、AC＝６cm、cosＡ＝７／８ である。このとき、BCの長さは[エ]cmである。
[解]：第二余弦定理により、BC2 ＝６2＋８2−２・６・８・(７／８)＝１６
∴BC＝√１６＝４cm＝[エ]cm
[３]４．下図の三角形ＡＢＣにおいて、辺BC＝３cm、辺BCを見込む∠Ａ＝30°である。このとき､三角形ＡＢＣの外接円の半径は[オ]cmである
[解]：正弦定理より、２・半径＝３／sin 30°＝３／0.5＝６
∴半径＝３cm、即ち､[オ]cm＝３cm
[４]１．20以下の自然数の集合を全体集合Ｕとし、その部分集合で、２の倍数の集合をＡ、３の倍数の集合をＢとする。このとき､右の図の斜線部分は、どのような数の集合を表しているか。(1)〜(4)のうちから正しい番号を一つ選べ。[ア]
（図は NOT Ａ and Ｂ）
[解]：Not Ａ＝非偶数＝奇数、Ｂ＝３の倍数、∴３、９、１５、
[４]２．下の図の様に、碁石を１段目には１，２段目には３，３段目には５，４段目には７，…………と、すぐ上の段より２個ずつ多く並べて９段目まで並べた時､並べた碁石の総数は[イウ]個である。
[解]：段をｓとし、並び数をn(s)すると、n(s)＝１＋２(ｓ−１)＝２ｓ−１
９段目の並び数n(9)＝２・９−１＝１７
１段＋９段＝２段＋８段＝３段＋７段＝４段＋６段＝５段×２＝１８＜ｂｒ＞
等しい加算組が４．５組で、１組毎の和が１８だから総和＝４.５×１８＝８１
[イウ]個＝８１個
[別解]：ｓ段目の並び数n(s)＝２ｓ−１、両端から２つづつ足した場合の和は２ｓ、
組数はｓ／２、従って総和＝ｓ2。
ｓ＝９だから、総和＝９2＝８１＝[イウ]個
[５]１．100円、50円、10円の３種類の硬貨で200円を支払う方法は全部で[ア]通りある。但し使わない硬貨があっても良いものとする。
[解]：網羅的に埋める。
100円２個
100円１個＋50円２個
100円１個＋50円１個＋10円５個
100円１個＋50円０個＋10円10個
100円０個＋50円４個
100円０個＋50円３個＋10円５個
100円０個＋50円２個＋10円１０個
100円０個＋50円１個＋10円１５個
100円０個＋50円０個＋10円２０個
従って９通りの支払い方がある。[ア]＝９
[５]２．女子１人と男子５人の計６人から代表を３人選ぶとき、女子が含まれる様な選び方は全部で[イウ]通りある。
[解]： 選び方＝5Ｃ(3−1) ＝5Ｐ2／2Ｐ2 ＝５・４／２＝１０通り＝[イウ]通り
[考え方]：見掛けは６人中から３人を選ぶのだが、付帯条件を良く見ると、女子１名中１名の選択は変わらないから、残りの５人中から２人(＝３−１)を選ぶ問題である。
[５]３．数字０，１，２を用いて３桁の整数をつくる。同じ数字を繰り返し用いて良い。このときできる整数は全部で[エオ]個ある。
[解]：個数[エオ]＝２×３×３＝１８個
「３文字の文字列」ではなく、「３桁の数」が引っかけ。冒頭が０だと２桁以下になってしまう。だから数種は３種使える重複順列だが、先頭桁だけは０を使えないから２種で１８個。もし先頭０を含んでよい「文字列」なら3Π3＝３・３・３＝２７通りであるがそれは「文字列」であり題意の「整数」ではない。
[６]１．大小２個のサイコロを同時に１回投げるとき出る目の和が３または４である確率は[ア]／[イウ]である。
[解]：サイコロの目は２個独立にそれぞれ６通りだから、出る目の組合せは６×６＝３６通りある。このうち和が３または４の組合せは
和３：１＋２、２＋１
和４：１＋３、２＋２、３＋１ の計５通りだから、
確率[ア]／[イウ]＝５／３６
[６]２．２種類のくじＡ，Ｂがある｡くじＡから１本引いて当たる確率は１／２、
くじＢから１本引いて当たる確率は１／３である。
Ａ，Ｂから１本ずつ引いて両方当たりの確率は[エ]／[オ]である
[解]：ａ，ｂ相互に独立なので、確率[エ]／[オ]＝(１／２)・(１／３)＝１／６
[６]３．１個のサイコロを１回投げて、３の倍数の目が出れば６０点、
それ以外の目が出れば３０点得られるゲームがある。
このゲームを１回行うとき､得点の期待値は[カキ]点である
[解]：３の倍数の目は３と６の２種、それ以外は４種(＝６−２)。
だから、期待値[カキ]＝(６０×２＋３０×４)／６＝２４０／６＝４０点