2003年大検数学解答 ｍｅｍｏ()
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| Last update: 2005/10/10 (05/07/07作成) | ||||||
[１]１．右の図は、頂点の座標が（２，３）で、点（０，−１）を通る２次関数のグラフである。グラフがこの様になる２次関数はどれか、その番号を選んで[ア]に解答せよ。 (注：図は、上に凸)
(1)．ｙ＝−(ｘ＋２)2＋３
(2)．ｙ＝ (ｘ＋２)2＋３
(3)．ｙ＝−(ｘ−２)2＋３
(4)．ｙ＝ (ｘ−２)2＋３
[解]：上に凸なら２次の係数は負。頂点のｘ座標が２なら（ｘ−２）＝０。
この２条件を満たす式は(3)＝[ア]のみ。
確認：ｙ(０)＝−(−２)2＋３＝−１。
すなわち（０，−１）で題意の点に一致する。
[１]２．二次関数 ｙ＝(ｘ−２)2−１ のグラフは、二次関数 ｙ＝ｘ2のグラフをどのように平行移動したものか、次の(1)〜(4)のうち正しい番号[イ]を選べ。
(1)．ｘ軸方向に ２，ｙ軸方向に １だけ平行移動したグラフ
(2)．ｘ軸方向に ２，ｙ軸方向に−１だけ平行移動したグラフ
(3)．ｘ軸方向に−２，ｙ軸方向に １だけ平行移動したグラフ
(4)．ｘ軸方向に−２，ｙ軸方向に−１だけ平行移動したグラフ
[解]：両式の２次の係数が＋１なので頂点座標だけに着目すれば良いから、座標を基準
に取れば、（０，０）→（２，−１）へ移動した訳だから(2)だけが一致
[１]３．二次関数 ｙ＝ｘ2−４ｘ＋２ は、ｘ＝[ウ]のときに最小値[エオ]を取る。
[解]：２次の係数が正だから下に凸で最小値、
対照軸のｘ座標＝−Ｂ／２Ａ＝−(−４)／２＝２=[ウ]、
ｙ(２)＝２2−４×２＋２＝−２＝[エオ]
[１]４．二次関数 ｙ＝ｘ2−ｘ−３ のグラフとｘ軸との共有点のｘ座標は
ｘ＝（[カ]±√[キク]）／[ケ] である｡
[解]：ｘ軸はｙ＝０だから、ｘ＝{１±√(１＋４×３)}／２＝(１±√１３)／２
[１]５．二次関数 ｙ＝ｘ2−２ｘ＋３ のグラフとｘ軸との共有点の個数について正しく述べている項目番号は[コ]。
(1)．共有点の個数は２個である。
(2)．共有点の個数は１個である。
(3)．共有点はない。
[解]：判別式の値Ｄ＝Ｂ2−４ＡＣ＝２2−４・１・３＝−８
従って解は存在しない(3)＝[コ]が正しい
[１]６．右の図は二次関数 ｙ＝ｘ2−４ のグラフである。
二次不等式 ｘ2−４＞０ の解を表す説明の番号は(1)〜(4)のどれか。
(1)．ｘ＞−２
(2)．−２＜ｘ＜２
(3)．ｘ＞−４
(4)．ｘ＜−２、２＜ｘ
[解]：ｙの値が正（＞０）の範囲を求めることだから、２次項の係数が正なので下に凸、因数分解して ｙ＝(ｙ＋２)・(ｙ−２)＝０がｘ軸との交点。頂点は負側なので、正側はｘ軸との交点より外側になる。だから(4)＝[サ]
| 角度 | 正弦 sin | 余弦 cos | 正接 tan | |
|---|---|---|---|---|
| 29° | 0.4848 | 0.8746 | 0.5543 | |
| 30° | 0.5000 | 0.8660 | 0.5774 | |
| 31° | 0.5150 | 0.8572 | 0.6009 | |
| 32° | 0.5299 | 0.8480 | 0.6249 | |
| 33° | 0.5446 | 0.8387 | 0.6494 | |
この階段の傾斜角の大きさの番号[ア]は次の(1)〜(4)のどれか。
(1)．29°以上30°未満
(2)．30°以上31°未満
(3)．31°以上32°未満
(4)．32°以上33°未満
[解]：tanθ＝18／30＝３／５＝0.6 表より31°弱であることが判る。
これを含む解答番号は(2)＝[ア]
[２]２．sin 147°の値は(1)〜(4)のうちどれか。番号で[イ]に答えよ。
(1)． 0.5446
(2)．−0.5446
(3)． 0.8387
(4)．−0.8387
[解]：sin 147°＝sin(180°−147°)＝sin 33°≒0.5446＝(1)：[イ]
[３]１．tan 150°の値は(1)〜(4)のうちどれか。番号で[ア]に答えよ。
(1)． √３
(2)．−√３
(3)． １／√３
(4)．−１／√３
[解]：tan 150°＝−tan(180°−150°)＝−tan 30°＝−１／√３＝(4)[ア]
[３]２． ０°＜∠Ａ＜180°でcosＡ＝−３／５のとき、
sinＡの値は[イ]／[ウ]である。
[解]：cosＡ＝−３／５だから∠Ａは第２象限の角で、ｘ軸投影が負。
このsinＡはｙ軸対照のcosＡ'＝３／５と同じだから、
三平方の定理(ピタゴラス数３：４：５)により
sinＡ＝４／５＝[イ]／[ウ]である。
[３]３．右図の三角形ＡＢＣにおいて、
ＡＢ＝３cm、ＡＣ＝５cm、∠Ａ＝60°である。
このときＢＣの長さは√(エオ) である。
[解]：第２余弦定理より
BC2＝５2＋３2−２・５・３・cos60°
＝25＋9−30×1／2＝１９
∴BC＝√１９＝√(エオ)
[３]４．下図の三角形ＡＢＣにおいて、
BC＝√２cm、∠Ａ＝30°、∠Ｂ＝45°であるとき
ACの長さは[カ]cmである。(但しBCの対角は∠Ａ)
[解]：正弦定理により
√２／sin30°＝AC／sin45° になるから
AC＝√２／sin30°×sin45°＝√２／(１／２)・(１／√２)
＝２＝[カ]cm
[４]１．ある都市で家電販売店100店を対照に、
Ａ社とＢ社の製品を販売している店の数を調べたところ、次のようであった。
Ａ社の製品を販売している店 70店
Ｂ社の製品を販売している店 60店
両社の製品を販売している店 40店
Ａ社の製品を販売している店の集合をＡ
Ｂ社の製品を販売している店の集合をＢとするとき
両社の製品を販売している店の集合Ａ∪Ｂに含まれる店数は全部で[アイ]店である
[解]：重複する店数が40店だから、Ａ∪Ｂ＝70＋60−40＝90店＝[アイ]店
[４]２．下図のように同じ長机を１列に並べてそのまわりに椅子を置く。
（各机の両側に２脚＋２脚に加え、列の両端に１脚ずつ配置）
長机１脚：椅子６脚
長机２脚：椅子10脚
長机３脚：椅子14脚
長机１０脚のとき椅子[ウエ]脚必要。
[解]：机を１脚増やす毎に椅子は４脚増え、机１脚時に椅子６脚だから
机10脚での椅子の数[ウエ]＝(10-1)×４＋６＝42脚
[５]１．６種類のパンと、５種類の飲み物がある。
その中からそれぞれ１種類ずつ選ぶとき、その選び方は全部で[アイ]通りある。
[解]：パンと飲み物の選択は独立だから、組合せ数としては６×５＝30通り＝[アイ]
[５]２．異なる６冊の本をＡさん、Ｂさん、Ｃさんの３人にそれぞれ２冊ずつ分けるとき、その分け方は全部で[ウエ]通りである。
[解]：Ａさんの配布＝6Ｃ2＝６・５／２＝15通り
Ｂさんの配布＝4Ｃ2＝４・３／２＝６通り
Ｃさんの配布＝2Ｃ2＝nＣn＝１
合計では１５×６×１＝９０通り＝[ウエ]
[５]３．下図のように６人が円形テーブルのまわりの椅子に着席するとき､
その並び方は全部で[オカキ]通りある。
[解]：椅子が特定されるのか(玉座方式)、それとも相互の並び順で椅子は特定されないのかで違うが、まずは固定される場合は
非重複順列で6Ｐ6＝６×５×４×３×２×１＝７２０通り
位置を問わなければ位置ずれ６通りだから、７２０／６＝１２０通り。
どちらかを決めかねるが、敢えて「円卓」を言うからには、位置を問わない意の可能性が高いので、[オカキ]＝１２０通りを解答とする。
[６]１．１０本のくじの中に当たりくじが５本ある。同時に２本くじを引いて共に当たる確率は[ア]／[イ]である。
[解]：同時に引いても、片方が当たりだともう一方の確率に影響するから
２本当たる確率は、(５／１０)・(４／９)＝２／９＝[ア]／[イ]
（独立事象なら(１／２)2＝１／４になる訳だが、）
[６]２．大小２個のサイコロを同時に１回投げる時､
少なくとも１個は偶数の目が出る確率は[ウ]／[エ]である
[解]：２個とも奇数の目の場合以外は偶数の目が出ているから、
偶数の目が出る確率は１から全奇数を引けばよい。
即ち､１−(１／２)・(１／２)＝３／４＝[ウ]／[エ]
[別解]：組合せは、１．偶偶、偶奇、奇偶、奇奇の４通りで、
このうち題意の組合せは３通りだから、確率＝３／４＝[ウ]／[エ]
[６]３．袋の中に５個の球が入っていて、
そのうち２個には５，残り３個には１０と書かれている。
ここから１個取り出すときに球に書かれた数値の期待値は[オ]である｡
[解]：５種の内、５が出るのが２種、１０が出るのが３種だから、その平均は
期待値＝{２×５＋３×１０}／（２＋３）＝４０／５＝８＝[オ]