ゼミ内容　　 　ｍｅｍｏ()

レジメ（要旨・ 目次）

<A>
• 四則計算、九九、加減乗除、３桁以上の計算100桝計算で２分未満に！
• 小数計算、加減、乗除
• 分数計算、既約分数、帯分数化、加減時の通分(分母を共通にして加減可能にする)
  • 最小公倍数、最大公約数、素数、因数分解、素因数分解
  • 倍数・約数の発見法、２，３，４，５，６，８，９，10，12，13，25，
    末尾が０と５は５の倍数
    末尾偶数は２の倍数、
    各桁の和が３の倍数は３の倍数、９の倍数は９の倍数、
    下２桁が４の倍数は４の倍数、２５の倍数は２５の倍数、
    ３の倍数で偶数は６の倍数
    ９の倍数で偶数は１８の倍数
    末尾０は１０の倍数
    ３の倍数で４の倍数は１２の倍数
    ３の倍数で５の倍数は１５の倍数
    ５の倍数で９の倍数は４５の倍数
    ３の倍数で２５の倍数は７５の倍数
    ９の倍数で２５の倍数は２２５の倍数
    ｎの倍数との差がｎの倍数ならｎの倍数 ,例1379＝7×200−7×3∴７の倍数
    Ｘの小さい約数から検索したときの検索終了値は√Ｘ
    
• 上記混合計算
• 面積、方形、三角形、平行四辺形、台形、円、円柱、円錐、球面、
• 体積、立方体、角柱、円柱、角錐、円錐、球、
  <J8><B>
• 平方根、立方根、
  
  • ２乗してＸになる数をＸの平方根と言い√Ｘで現す。→平方の開き方
    
  • ３乗してＸになる数をＸの立方根(３乗根)といい、³√Ｘ と表す。
  • ｎ乗してＸになる数をＸのｎ乗根といい、ⁿ√Ｘ と表す。(２は省略)
    
  • Ｘのｎ乗：Ｘ^ｎ、　タイプでの表現は X^n　(宣言：Ｘのｎ乗＝X^n)、
    Ｘのｎ乗分の１：Ｘ^−ｎ、
    Ｘの０乗：Ｘ⁰＝１　　∵Ｘⁿ・Ｘ⁻ⁿ＝Ｘ⁰＝１
    Ｘのｎ乗根：Ｘ^１／ｎ
    
  <C>
• 方程式、等号vs代入演算子、等号「＝」で結ばれた式
• 方程式を解く、方程式の変形:移項
  （左右両辺に同じ加減乗除処理を加えても等式の性質が変わらない：移項）
  ｎ元ｎ次方程式：元：変数、次数：何乗か、方程式：等号に結ばれる式
  
• １次方程式
  　　一般形：　Ａｘ＋Ｂ＝０　　但し、Ａ,Ｂは定数、Ａ≠０、未知数ｘ
  
• １次方程式解法：
  
  • 同類項をまとめて未知数項を左辺(一方)に、既知数項を右辺(もう一方)に集約
    
  • 未知数の係数で両辺を割ることで未知数が求まる。
    
• １次関数一般形：　ｙ＝Ａｘ＋Ｂ
  　　　但し、Ａ,Ｂは定数、Ａ≠０、独立変数ｘ、従属変数ｙ
  ｘ＝０のとき、ｙ＝Ｂ、ｙ＝０のとき、ｘ＝−Ｂ/Ａの直線のグラフ
  グラフのＸ軸（Ｙ＝０）との交点のＸ座標を「Ｘ切片」
  Ｙ軸（Ｘ＝０）との交点の座標を「Ｙ切片」と呼び、この２点を通る直線が１次方程式のグラフとなる
• ２元１次連立方程式：元が２、それが共に１次、方程式が２本
  それぞれの方程式のグラフは直線。
  両方の方程式を満足する場所は、２本の直線の交点のみ。
  解法：元を１個にして１次式の解を求め、その値によりもう１つの１次式の解を求める。
  他の元をもう一つの元で表して代入して１次式化する方法を代入法、
  方程式同士の加減算で一方の元を消去して１次式にする方法を消去法と呼ぶ。
  
  <D>
• ２次方程式
  • 一般形１：
    Ａx²＋Ｂｘ＋Ｃ＝０
    　但、Ａ,Ｂ,Ｃは定数、
    　Ａ≠０、未知数ｘ
    
  • 解法：平方を完成させて解を得る。…解の公式１…
    ｘ＝｛−Ｂ±√(Ｂ²
    　　−４ＡＣ)｝／２Ａ
    
  • 一般形２：(１次項の係数が偶数)
    Ａx²＋２Ｂｘ＋Ｃ＝０　　但、Ａ,Ｂ,Ｃは定数、Ａ≠０、未知数ｘ
    ｘ＝｛−Ｂ±√(Ｂ²−ＡＣ)｝／Ａ　……解の公式２
    
  • ２次関数一般形：　ｙ＝ｆ（ｘ）＝Ａｘ²＋Ｂｘ＋Ｃ
    　　但､Ａ,Ｂ,Ｃは定数、Ａ≠０、独立変数ｘ、従属変数ｙ
    関数図形は放物線となる。
    　　平方を完成して　ｙ−ｙ₀＝Ａ（ｘ−ｘ₀）²　の形に整理した場合
    　　　　放物線の対称軸は　ｘ＝ｘ₀
    　　　　頂点の座標は（ｘ₀,ｙ₀）　　：　ｘ＝ｘ₀,　ｙ＝ｙ₀　　となる。
    
    <D1>
  • 平方の完成
    
    • ｙ＝Ａｘ²＋Ｂｘ＋Ｃ
      　＝Ａ｛ｘ²＋Ｂ/Ａｘ＋(Ｂ/２Ａ)²−(Ｂ/２Ａ)²｝＋Ｃ
      　＝Ａ｛ｘ＋(Ｂ/２Ａ)｝²−Ａ(Ｂ/２Ａ)²＋Ｃ
      　＝Ａ｛ｘ＋(Ｂ/２Ａ)｝²＋(−Ｂ²＋４ＡＣ）/４Ａ
      
    • 従って
      放物線の対称軸は　ｘ_a＝−Ｂ/２Ａ
      
    • ｙ−(−Ｂ²＋４ＡＣ）/４Ａ＝Ａ｛ｘ＋(Ｂ/２Ａ)｝²　より
      頂点の座標は　ｘ₀＝−Ｂ/２Ａ， ｙ₀＝(−Ｂ²＋４ＡＣ)/４Ａ となり
      
    • Ａ＞０で下に凸、Ａ＜０で上に凸の放物線となる。
      
    • 上式でｙ＝０の場合のｘを求めると
      ｘ＋(Ｂ/２Ａ)＝±√（Ｂ²−４ＡＣ）/２Ａ　だから
      ｘ＝｛−Ｂ±√（Ｂ²−４ＡＣ）｝/２Ａ　となる　…(＝根の公式１）
      
    • Ｂ←２Ｂ’代入（Ｂ＝２Ｂ’）すると
      ｘ＝｛−Ｂ’±√（Ｂ’²−ＡＣ）｝/Ａ　となる　…(＝根の公式２）
      
    <D2>
  • (２次方程式の)判別式Ｄ
    　根の公式中の平方根の中の式を「判別式」と呼び、多くの場合「Ｄ」で表す。 このＤの値が負になると、平方根は存在しないから解なし
    Ｄ＜０　で解なし（虚数単位ｉを導入して虚根）
    Ｄ＝０　で重根（根は１個存在）
    Ｄ＞０　で２つの実根　となる
    
    • ２次方程式　f(x)＝ｙ＝ｘ²−６ｘ＋ｋ　とするとき、
      解が１個となるｋの値は？
      ［解］判別式Ｄ＝６²−４×１×ｋ＝０　∵解１個：重根
      ｋ＝６²／４＝９　でｘ軸に接して重根となる．
      
  • 「値域」に注意！
    　２次方程式を建てて解を求めた場合、解の取りうる範囲が限られている場合がある。その範囲を超えた解は、２次方程式の解ではあっても、問題の正解ではないことに注意。たとえば負の長さを想定できない場合も存在する
    [例]花壇問題：縦横15ｍ×18ｍの土地に花壇を作り等幅の道を縦横に設けたところ、花壇面積が154ｍ²となった｡道幅を求む（練習問題：花壇面積180ｍ²）
    [解］題意より、(18ｍ−道幅)×(15ｍ−道幅)＝154ｍ²
    (18ｍ−道幅)≧0、　(15ｍ−道幅)≧0、　道幅≧0、　すなわち
    道幅≦18ｍ、かつ　道幅≦15ｍ　　すなわち　0≦道幅≦15ｍ　（値域）
    従って、道幅²−33道幅＋270＝154
    　　　道幅²−33道幅＋116＝0
    この２次方程式を解くと、（a．因数分解or b．解の公式）
    a．因数分解法
    　(道幅−４)(道幅−２９)＝０　……　左右どちらかの項が０、すなわち
    　　道幅＝４ｍ、or　29ｍ　が方程式の解だが、
    　　29ｍは花壇の最大幅を超えており問題の解としては矛盾する(続)
    b．解の公式法
    　道幅＝[−(−33)±√{(−33)²−４・１・116}]／(２・１)
    　　　　＝{＋33±√(1,089−464)}／２＝{33±√(625)}／２
    　ここで　625＝25×25
    　　∴　√625＝25
    　　道幅＝(33＋25)／２ or (33−25)／２＝29 or ４　が方程式の解
    　　　(a．と同一結果になっている)
    c．値域：　（問題の解≠方程式の根）
    　　道幅の「値域」　0≦道幅≦15ｍ　により、問題の解答としては、29ｍは捨てられ
    　　道幅＝４ｍ　となる。
    d．捨てられる解は何か？：
    　では､問題の解答としては捨てられた道幅29ｍという値は何か？それは作図すると判るが、敷地外に−11ｍ×−14ｍ＝＋154ｍ²という負の長さの土地になる。負の長さの土地は存在し得ない仮想のものであり、そもそも敷地幅より広い道幅は採れないから捨てられる。
  <H>
• 関数(函数)
  
  • 表記法
    独立変数の状態によって一義的に状態が決まる関係を関数関係という。
    独立変数ｘ、ｙ、ｚによって従属変数ｙが関数ｆの関係で決定する場合、
    　　ｙ＝ｆ（ｘ、ｙ、ｚ）と表す。fは任意の関数名：g、h、j、k、zz、……。
    
  • １次関数：変数の最大次数が１次＝１乗。直線
    ２次関数：変数の最大次数が２次＝２乗。放物線、円、楕円、双曲線
    ｎ次関数：変数の最大次数がｎ次＝ｎ乗
    
  • 陰関数−陽関数：値を直接計算できるもの＝陽関数、相互関係を示すが値は計算できないものを陰関数とよぶ。
  <I>
• グラフの移動←→座標系の移動（座標変換）
  
  • 原関数ｆ(ｘ，ｙ)＝０に対してｆ(ｘ−ｘ₀，ｙ−ｙ₀)＝０は、
    
    • 原関数のグラフを(ｘ₀，ｙ₀)移動したものとなる。（座標基準）
      
    • 原関数のグラフを基準（図形基準）で言えば、
      　座標軸を(−ｘ₀，−ｙ₀)移動させたものである。
      
  • 原関数ｆ(ｘ，ｙ)＝０に対してｆ(ｘ／Ｋx，ｙ／Ｋy)＝０は、
    　原グラフ（図形）をＸ方向にＫx倍、Ｙ方向にＫｙ倍したものである。
    
  • 原関数ｆ(ｘ，ｙ)＝０に対してｆ(ｘ／Ｋx−ｘ₀，ｙ／Ｋy−ｙ₀)＝０は、
    　原グラフ（図形）をＸ方向にＫx倍、Ｙ方向にＫｙ倍し、(ｘ₀，ｙ₀)移動したものとなる。
    
  
  <J>
• 対数←(逆関数)→指数
  対数の底（てい）
  10：常用対数、
  ｅ：自然対数、
  ２：半減期、光量
  
  • 人体の強度感覚がほぼ対数。音量等振動関係[dB]10底比の10倍、
    光量EV：２底の標準フィルム感度比、
    拡散・減衰：自然対数（放射能が特に２底の「半減期」を用いる。自然対数では「時定数」である）
    
  • ｙ＝ａ^ｘ　　vs　　ｘ＝log_ａｙ　　(ａは底)
    
  • log_ａｙ＝logｙ／logａ
    
  • 自然対数の底：ｅ(数学一般)、
    ε(電気工学：起電力、瞬時電圧等のｅとの混同回避策だが、誘電率εと衝突)、
    ｅ＝2.7182818284590452353602874713527
    
  • 底表示の省略：
    (数学)常用対数：log、自然対数：ln、、
    (物理解析/数学、コンピュータ・プログラム)自然対数：log、
  • 時定数Ｔ←→半減期Ｈ
    減衰曲線：Ａ{１−ｅ^{(−ｔ／Ｔ)}}＝Ａ{１−２^{(−ｔ／Ｈ)}}　　という関係
    従って、ｅ^{(−ｔ／Ｔ)}＝２^{(−ｔ／Ｈ)}　　だから、両辺の対数を取って
    ｔ／Ｔ＝ｔ／Ｈ・ln２、
    Ｔ＝Ｈ・ln２＝Ｈ・log２／logｅ≒0.6931Ｈ
    log₁₀ｅ≒0.4343、　１／log₁₀ｅ≒2.303
    
  • 自然対数の指数表示法
    y＝Ａ・ｅ^x＝Ａ・ε^x＝Ａ・exp(ｘ)

<K>
• ３平方の定理＝ピタゴラスの定理：超重要公式
  正方形と三角形の面積から証明可能
  
• 直角三角形で対辺ａ、底辺ｂ、斜辺ｃとするとき、　ａ²＋ｂ²＝ｃ²
  
  • ３平方の定理が整数比で成立する例は2種。
    ３：４：５と、　５：１２：１３の実数倍。
    
  • 正３角形を２等分して出来た直角３角形は、
    辺の比が２：１：√３、角度が60度：30度：90度となる
    
  • 正方形を対角線で等分割して出来た直角三角形は、
    辺の比が１：１：√２、角度が45度：45度：90度となる。
  • （以上４種の三角形は特殊な三角形として問題に引用されやすい）
    
  <L>
• 三角比(俗称三角関数)：直角三角形の頂点の角度と辺の比の関係３種類を三角比として定義。（その逆数３種類も三角比として定義されているが近年は不使用）
  
  • 直角三角形で対辺ａ、底辺ｂ、斜辺ｃとするとき、　
    
    • 正接：tanＡ＝ａ／ｂ　　(対辺／底辺)　＝１／cotＡ
      
    • 正弦：sinＡ＝ａ／ｃ　　(対辺／斜辺)　＝１／secＡ
      
    • 余弦：cosＡ＝ｂ／ｃ　　(底辺／斜辺)　＝１／cosecＡ　と定義する。
      
  • これは３平方の定理より
    (sinＡ)²＋(cosＡ)²＝１　となり、
    
  • 定義より　tanＡ＝sinＡ／cosＡ　だから、
    
  • 与値がそれぞれsinＡ，cosＡ，tanＡ の場合の、他の三角比の値は
    
    • 与値：sinＡ
      　　cosＡ＝√(１−sin²Ａ)
      　　tanＡ＝sinＡ／√(１−sin²Ａ)
      
    • 与値：cosＡ
      　　sinＡ＝√(１−cos²Ａ)
      　　tanＡ＝√(１−cos²Ａ)／cosＡ
      
    • 与値：tanＡ
      　　sinＡ＝tanＡ／√(１＋tan²Ａ)
      　　cosＡ＝　１ ／√(１＋tan²Ａ)
      
  • cosＡ＝sin(90ﾟ±Ａ)＝　cos(−Ａ)
    　　 ＝−cos(180ﾟ−Ａ)＝cos(Ａ＋２ｎπ)
    sinＡ＝cos(90ﾟ−Ａ)＝−sin(−Ａ)
    　　 ＝−cos(90ﾟ＋Ａ)＝　sin(180ﾟ−Ａ)
    　　 ＝sin(Ａ＋２ｎπ)
    
  • tanＡ＝tan(Ａ＋ｎπ)＝−tan(π−Ａ)

<M>
• 三角比、該当辺の捜索法
  
  • 直角が基準！まず直角を捜す
    
  • 斜辺は直角の見込む辺
  • 着目角に対して
    
  • sin 着目角の見込む辺が対辺
  • cos 着目角と直角の間が底辺
  • tan 対辺／底辺
  
  
  
  
  
  
  <N>
  禁止事項：　直角三角形に筆記体のｓ、ｃ、ｔ、を沿わせてそれぞれｓｉｎ、ｃｏｓ、ｔａｎ、に対応すると教える参考書(左図)を見掛けるが、それをやると理解したつもりにはなれるが、三角形を裏返したり回転させたりされると必ず位置を間違えてしかも誤りを発見できない。実務上は使用厳禁である
  
• 第１余弦定理　（任意の三角形：定義ほぼそのまま）
  ａ＝ｃcosＢ＋ｂcosＣ
  ｂ＝ａcosＣ＋ｃcosＡ
  ｃ＝ｂcosＡ＋ａcosＢ
  
  <O>
• 第２余弦定理
  ａ²＝ｂ²＋ｃ²−２ｂｃcosＡ
  ｂ²＝ｃ²＋ａ²−２ｃａcosＢ
  ｃ²＝ａ²＋ｂ²−２ａｂcosＣ
  
• 正弦定理
  ２Ｒ＝ａ／sinＡ＝ｂ／sinＢ＝ｃ／sinＣ
  
  
  <P>
• 三角関数の(角度の)加法定理
  
  • sin(α±β)＝sinα・cosβ±cosα・sinβ
    
  • cos(α＋β)＝cosα・cosβ−sinα・sinβ
    cos(α−β)＝cosα・cosβ＋sinα・sinβ
    
  • tan(α＋β)＝{tanα＋tanβ}／{１−tanα・tanβ}
    　　　 （＝sin(α＋β)／cos(α＋β)
    　　　　 ＝{sinα・cosβ＋cosα・sinβ}／
    　　　　　 {cosα・cosβ−sinα・sinβ}
    
  • tan(α−β)＝{tanα−tanβ}／{１＋tanα・tanβ}
    
  • sinα・sinβ＝(1/2){cos(α−β)−cos(α＋β)｝
    
  • cosα・cosβ＝(1/2){cos(α−β)＋cos(α＋β)｝
    
  • sinα・cosβ＝(1/2){sin(α＋β)−sin(α−β)｝
    
  • sin²Ａ＝(1/2)（１−cos２Ａ）
    cos２Ａ＝１−２・sin²Ａ
    
  • cos²Ａ＝(1/2)（１＋cos２Ａ）
    cos２Ａ＝２・cos²Ａ−１
    
  • sinＡ・cosＡ＝(1/2)sin２Ａ
    sin２Ａ＝２sinＡ・cosＡ＝２sinＡ・√(１−sin²Ａ)
    
  <Q>
• 平行線に交わる直線の為す角
  
  • 平行線の対頂角、同位角、錯角、は等しい。同側内角の和は180ﾟ(π)。
    系：多角形の中に三角形をいくつ作れるか、その数×２直角が内角の和
    
    • 三角形の内角の和は180ﾟ(π、２∠Ｒ)
      
    • 三角形の２内角和は残りの外角に等しい。（上行の変形表現）
      
    • 四辺形の内角の和は360度(２π、４∠Ｒ)（四辺形＝三角形２個合成）
      
    • 五角形の内角の和は540度(３π、６∠Ｒ)（五角形＝三角形３個合成）
      
    • 六角形の内角の和は720度(４π、８∠Ｒ)（六角形＝三角形４個合成）
      
    • ｎ角形の内角の和は(ｎ−２)×180ﾟ((ｎ−２)π、２(ｎ−２)∠Ｒ)。
      （ｎ角形＝三角形ｎ−２個合成）
      
  • 交差角の計算：(頂点毎に平行線を補助線として算出)
  <R>
• 三角形の相似、合同、決定
  
  • 相似、相似比、面積比
    • ２角の等しい（＝３角の等しい）三角形
    • １角２辺の比の等しい三角形
    • ３辺の比の等しい三角形
  • 合同／決定
    • 対応する２角（＝３角）と１辺の等しい三角形
    • １角２辺の等しい三角形
    • ３辺の等しい三角形
• ２等辺３角形：２辺の長さの等しい３角形＝２角の等しい３角形
  　　等しい角でない頂点の外角は等しい角の２倍
  
• 円周角と中心角：円周上のある弦を見込む円周角はその中心角の１／２で一定である。
  
• 直径を弦とする円周角は直角（∠Ｒ、90ﾟ、π／２）である。
  
• その三角形の外接円の場合、
  ２Ｒ・sinＡ＝ａ、２Ｒ・sinＢ＝ｂ、２Ｒ・sinＣ＝ｃ、が成立する。
  すなわち　２Ｒ＝ａ／sinＡ＝ｂ／sinＢ＝ｃ／sinＣ
  これを「正弦定理」という。（円周角一定原理と、直径を見込む円周角＝直角より)
  
  
  <PC>
• 階乗
  ５！＝５×４×３×２×１＝１２０、ｎ！≡１〜ｎまでの数を順次乗ずる。
  ０！＝１　と定義
• 順列(非重複)　┌───(ｒ項の積)───┐：ｎから１づつ減るｒ項の積。
  　　　_ｎＰ_ｒ＝ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)……(ｎ−(ｒ−１))＝ｎ！／（ｎ−ｒ）！
  
  • 　全体でｎ個中からｒ個選ぶ並び方の数：非重複順列
    ∵１回目の選択＝ｎ通り、２回目の選択＝ｎ−１通り、３回目の選択＝ｎ−２通り、ｒ回目の選択＝ｎ−（ｒ−１）通り、その積だけ順列が存在する。
    ∴ｎから１づつ引いた数ｒ項の積になる．いきなり階乗計算をしないこと！
    
  • _ｎＰ_ｎ＝ｎ！　　　n＝r の場合、０！が発生するがそれを１と定義する。
    
• 順列(重複)
  _ｎΠ_ｒ＝ｎ^ｒ　　 ｎ種からｒ個選ぶ並び方の数：重複順列
  ∵どの選択でもｎ種選択できる。
  
• 組合せ
  _ｎＣ_ｒ＝_ｎＰ_ｒ／_ｒＰ_ｒ＝_ｎＰ_ｒ／ｒ！＝ｎ！／（ｎ−ｒ）！ｒ！
  　　全体でｎ個中からｒ個選ぶ選び方の数：非重複組合せ。
  （順列と違い順序を問わない。ｒ個の順列は同一組合せ＝_ｒＰ_ｒ＝ｒ！種は同じ組合せ∴順列数を同一順列数で割れば組合せ数になる）
  _ｎＣ₁＝ｎ、：ｎ個中から１個選ぶのはｎ通り、　_ｎＣ_ｎ＝１　：ｎ個全部を選ぶ
  
  
  <R>
• 確率：着目する状態／有り得る全状態
  
• 論理記号
  ￣　NOT　　　　反転　　　　ノット、バー　　(オーバーライン)
  ∪　OR 　＋　　または　　　ボンド・カップ　論理和
  ∩　AND　・　　一致、且つ　キャップ　　　　論理積
  　　XOR　　　　反一致　　　　　　　　　　　排他的論理和
  X∪Y＝ X ∩ Y 　、
  X∩Y＝ X ∪ Y 　、
  ⊂ ⊃　含む　、 ⊆ ⊇　含むか同一、 ∈ ∋
  
  
  <S>
• 利息計算：
  
  • 単利、
    元利合計Ｔ＝元金Ａ・(１＋利息率ｒ×期間ｎ)　　Ｔ＝Ａ(１＋ｒ・ｎ)
    
  • 複利、
    元利合計Ｔ＝元金Ａ・(１＋利息率ｒ)^期間ｎ　　　 Ｔ＝Ａ(１＋ｒ)ⁿ
    
  • 積立預金、
    １期の元利＝積立額Ａ・(１＋利息率ｒ)^０
    ２期の元利＝積立額Ａ・(１＋利息率ｒ)^１
    ３期の元利＝積立額Ａ・(１＋利息率ｒ)^２
    ｎ期の元利＝積立額Ａ・(１＋利息率ｒ)^{(期間ｎ−１)}
    全体の元利＝　　上記全部の和
    全体の元利・(１＋利息率ｒ)＝上記全部項×(１＋利息率ｒ) の和、即ち
    １期の元利・(１＋利息率ｒ)＝積立額Ａ・(１＋利息率ｒ)^１
    ２期の元利・(１＋利息率ｒ)＝積立額Ａ・(１＋利息率ｒ)^２
    ３期の元利・(１＋利息率ｒ)＝積立額Ａ・(１＋利息率ｒ)^３
    ｎ期の元利・(１＋利息率ｒ)＝積立額Ａ・(１＋利息率ｒ)^(期間ｎ)
    従って「末行式−末行から２番目の式」を計算すると、右辺は第２項〜第ｎ項が消去され初回と最終回・(１＋利息率)だけになる。すなわち
    全体の元利・利息率ｒ＝積立額Ａ・(１＋利息率ｒ)^{(ｎ−１＋１)}−積立額
    　　　　　　　　　　＝積立額Ａ・{(１＋利息率ｒ)^ｎ−１}
    ∴総積立元利合計Ｓ＝積立額Ａ・{(１＋利息率ｒ)^ｎ−１}／利息率ｒ
    　Ｓ＝Ａ・{(１＋ｒ)ⁿ−１}／ｒ
    　(等比級数の和の計算、工夫次第でこの様に単純化できる！)
    
  • ローン／年金原価
    　ローン総額Ｔの元利合計Ｓが、返済額Ａを積立金と見なした時の総積立元利合計Ｓ’に等しくなった時点で相殺すると考えると、複利計算と積立預金の組み合わせで解を得られる。すなわち
    Ｓ＝Ｔ(１＋ｒ)ⁿ＝Ａ・{(１＋ｒ)ⁿ−１}／ｒ　だからＡとＴの関係は
    Ａ＝Ｔ・ｒ(１＋ｒ)ⁿ／{(１＋ｒ)ⁿ−１}
    　＝Ｔ・ｒ／{１−１／(１＋ｒ)ⁿ}
    Ｔ＝Ａ・{１−１／(１＋ｒ)ⁿ}／ｒ　　(極めて単純化)
    例：金利４％、毎年返済額120万円、25年ローンで借入出来る金額は？
    Ｔ＝120万×{１−１／(１＋0.04)²⁵}／0.04＝1874.6496万円
    
  • 高利(返済毎精算単利≒複利)
  • アドオン(高利)
  <S2>
• 等差級数とその和　　(計算法の工夫:ガウスの方法)
  各項の差(公差)が一定の場合、初項と末項、２項と末から第２項、の順で組を作ると、「その和×組数」が総和になる。
  
  
  例1：11〜20までの総和
  　　　　　　＝(11＋20)×(20−11＋1)/2
  　　　　　　＝31×5＝155
  例2：１〜20までの総和
  　　　　　　＝(1＋20)×(20−1＋1)/2
  　　　　　　＝21×10＝210
  例3：初項a，公差d，項数ｎの等差級数の総和
  　正順　　　　逆順　　　　　２項和
  　a　　　 a＋(n−1)d　　2a＋(n−1)d …１項
  　a＋d　　a＋(n−2)d　　2a＋(n−1)d
  　a＋2d　 a＋(n−3)d　　2a＋(n−1)d
  　a＋3d　 a＋(n−4)d　　2a＋(n−1)d
  　a＋4d　 a＋(n−5)d　　2a＋(n−1)d
  
  　a＋(n−3)d　　a＋2d　 2a＋(n−1)d
  　a＋(n−2)d　　a＋d　　2a＋(n−1)d
  　a＋(n−1)d　　a　　　 2a＋(n−1)d　……　ｎ項目
  　　総和＝{2a＋(n−1)d}ｎ／２
  
• 等比級数とその和　　(計算法の工夫)
  初項Ａ，公比a，項数ｎの等比級数の総和Ｓ　であるとき、
  Ｓ ＝Ａ＋Ａa＋Ａa²＋Ａa³ …… ＋Ａa^(n-3) ＋Ａa^(n-2)＋Ａa^(n-1) である。
  両辺に公比aを乗ずると
  Ｓa＝　　Ａa＋Ａa²＋Ａa³＋Ａa⁴ ………… ＋Ａa^(n-2)＋Ａa^(n-1)＋Ａa⁽ⁿ⁾
  となる｡ 下側式から上側式を引くと、a^mは０次とｎ次以外は相殺されて０になり､
  Ｓa−Ｓ＝Ａa⁽ⁿ⁾−Ａ
  Ｓ(a−１)＝Ａ(aⁿ−１)
  Ｓ＝Ａ(aⁿ−１)／(a−１)　　として計算できる
  
  • 今、a＝１＋r　とすると(＝積立預金利息計算)
    Ｓ＝Ａ{(1＋ｒ)ⁿ−１}／ｒ　となって先の計算と一致する。
    
  • ０＜a＜１の場合、ｎ→＋∞では aⁿ→０ だから
    lim_ｎ→∞Ｓ＝lim_ｎ→∞Ａ(１−aⁿ)／(１−a)
    　　　　　 ＝Ａ(１−lim_ｎ→∞aⁿ)／(１−a)
    　　　　　 ＝Ａ／(１−a)　　となる
    　　　但し、lim_ｎ→∞ は求極限値記号で、
    　　　この場合「ｎが＋∞に近づいた場合の極限値」を現す。
    　　　読み方は多数派はlimit：リミット、
    　　　しかしリーメス説もある（例：スミルノフ高等数学など）。
    

追補解説

<J8P>
• 平方根：√計算
  (√a)²＝a　定義
  (√a)×(√b)＝√(a×b)
  (√a)／(√b)＝√(a／b)
  　以上の性質から因数分解して偶数回掛けた数がその１／２回乗となってルートの外に出る。
  ［例］√(25200)＝√(2⁴×3²×7×5²)＝４×３×５√７＝60√７
  X⁰＝１ 　　∵Xⁿ×X⁻ⁿ＝１＝X⁰
  
  
  <PC2>
• _ｎＰ_ｒ、_ｎＣ_ｒ 追補
  非重複順列　┌───(ｒ項の積)───┐：ｎから１づつ減るｒ項の積。
  　　_ｎＰ_ｒ＝ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)……(ｎ−(ｒ−１))＝ｎ！／（ｎ−ｒ）！
  　末項が−(ｒ−１) で終わっているが初項からは引いてないので０〜ｒ−１までの計ｒ項の積となる
  分母側の階乗で消去されて１になる項に着目する｡一般式での表し方が階乗しかないから非重複順列数・組合せ数がこの様な式になっているが、本来はｎから順次１づつ減じながらｒ項乗ずるの意であり、ｒ＋１項め以降を消去する目的で(n−r)！で割っている。
  
  　全部でｎ個からｎ個選ぶ場合に公式では０！が発生するがそれは、 ０！＝１　と定義する．１！＝１＝０！で一見矛盾がある様に見えるが、ｎ個中からｎ−１個選ぶ順列の数とｎ個選ぶ順列の数が同じだから、同じでないと困る。
  公式丸覚えで、いきなり階乗計算をしてはならない！
  
  ［例題］７個中から３個を選ぶときその中にＡ，Ｂが共に選ばれる確率を求めよ。
  　着目点はＡ，Ｂが同格で個性なし。色違いなどと同じ。
  [解１]　Ａ，Ｂが２個とも選択される組合せは、残りの５個（７−２）から１個（３−２）選ぶ選び方の数だから
  ₍₇₋₂₎Ｃ₍₃₋₂₎＝₅Ｃ₁＝₅Ｐ₁／１！＝５
  　一方、７個中から３個選ぶ組合せ数は、７個中から３個選ぶ順列数を、組合せとしては同じである３個の順列数で割ったものになるから、
  　₇Ｃ₃＝７×６×５／₃Ｐ₃＝７×６×５／（３×２×１）＝３５通り
  従って、確率は　５／３５＝１／７　となる｡
  
  ［解２］３個選んだ中に属性（Ａ，Ｂ）が２個含まれる確率は、それぞれの選び方の確率の和になるから
  　　○○×：２／７×１／６×５／５＝１／２１
  　　○×○：２／７×５／６×１／５＝１／２１
  　　×○○：５／７×２／６×１／５＝１／２１
  以上総計では、　 ₃Ｃ₂×２／７×１／６＝３×２／２×１／２１＝１／７
  (物体に着目して計算)
  
  ［解３］属性（Ａ，Ｂ）が２度選ばれる確率は、
  第１の属性（Ａ，Ｂ）が選ばれる確率は、３／７
  １個選択後第２の属性（Ａ，Ｂ）が選ばれる確率は、２／６
  両方同時に起こる確率は、３／７×２／６＝１／７
  ３回選択の順序が入れ替わっても総合確率は変わらない。
  ○×○：３／７×１／５＝３／３５
  ×○○：５／７×２／６×１／５＝２／３５
  　計　：３／３５＋２／３５＝５／３５＝１／７
  (選択枠に着目して計算）
  
  ：同じ確率を計算しながら着目点で異なる数値2/7と3/7に分かれることに注意。前者が選択物に着目した確率、後者が選択枠に着目した確率。結論は同じでも、ひらめき型解法か、力尽く型解法かという違いがあり、全条件分の特定条件式の求め方が汎用の力尽く型だろう。
  

<U>

解法の着目点

• 未知数、既知数のリスト、相互関係：法則性を捜して立式
• 関係式数≧未知数の数なら解ありの可能性(不能の場合も解)
• 未知数算出
• 問題中にどんな関係式を使って解を求めるかを指示している例はほとんどない．だから解答法は様々な関係・法則を当てはめて解に辿り着く関係を捜してみることだ。
  　右図の例では３角形の辺の長さと角度が与値だから、使えそうな関係法則は、三平方の定理(直角三角形)、正弦定理（弦を見込む角と直径）、第一余弦定理（２辺２角）、第二余弦定理（２辺とその狭角）などの中に有りそうだから、これを一つ一つ潰して適切な関係式を導けば良い。初めて問題をみて一発で解答が出てくる訳ではないのだ。
  　まず、「直角」が見あたらないし、平方数もないから三平方の定理はダメ。既知角度が一個の場合では、それを挟む２辺が既知なら第２余弦定理、１辺と２角が既知なら正弦定理、２辺２角が既知なら正弦定理に加え第１余弦定理の適用を試み、未知数が１個に絞り込めれば解が得られる。そうした試行錯誤で解を求めるのが普通の姿である。測量業務や外形検査業務など日常使い慣れてくるとほぼ一発で解けるようになるから慣れるまで問題をこなすという方法も在るが。
  　

以下対象外省略
(解析作業には必要な技術）

• 行列と行列式、クロネッカーのデルタ：
  ＝ｎ元１次連立方程式の機械的解法
  
• 一次変換と写像
  極座標←→直交座標変換、２次元、３次元（三角関数の演習）
  
• 極限値
• 変化率・導関数・微分
  速度、加速度、加速度変化率
  
• 積分・定積分
  体積、求積公式作成、区分求積法（階段法、台形法、シンプソン法）
  
• 線形微分方程式、ラプラス変換
  　数学３、微分方程式の機械的解法、放熱、加熱、無限長伝送線等

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mail to: adrs
Last update: 2005/07/09 　　　　 　(05/04/30作成)

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＃	日付	場所			＃	日付	場所
1	03/26	○	名	13	06/18	国
2	04/02	楠		14	06/25	国調
3	04/09	○	名	15	07/09	国	○
4	04/16	楠		16	07/16	国
5	04/23	○		17	07/18	国
6	04/30	○		18	07/23	国
7	05/04	楠		19	07/31	国
8	05/14	○		20	08/09
9	05/21	○		21	08/18
10	05/28	○		22	08/19
11	06/04	○		23	08/20
12	06/11	国国		24	08/21

記事

• 四則計算、九九、加減乗除、３桁以上の計算
  　　九九速度：２分未満
  　　各種計算法：
• 小数計算、加減、乗除
  
  
• 原子核、原子番号、陽子、電子、中性子、質量数、同位元素(アイソトープ)
• 波長，振動数、伝播速度、ドプラー効果、
• 単位の接頭語

  10の整数乗倍を表す接頭語

  表記	乗	呼称		表記	乗	呼称
  k	10^3	キロ		m	10^-3	ミリ
  M	10^6	メガ		μ	10^-6	マイクロ
  G	10^9	ギガ		n	10^-9	ナノ
  T	10^12	テラ		p	10^-12	ピコ
  P	10^15	ペタ		f	10^-15	フェムト
  D	10^1	デカ		d	10^-1	デシ
  h	10^2	ヘクト		c	10^-2	センチ

  • D,h,d,cは理工学には不使用の方向
    
  • 国際単位SIでは合成した接頭語は使わない
    
  • SIはMKSA有理単位系を基本にしている
    　Ｍ：メートルｍ、Ｋ：キログラムkg、Ｓ：秒s、有理単位系：全方向の立体角４πステラジアンで割って、１ステラジアン当たりの量として定義する単位系、湧きだし量を係数４πで割るのが特徴．
    
  
  

  電磁波の波長と振動数 波長 振動数 呼称 備考 10^5 3kHz VLF 超長波 10^4 30kHz LF 長波 10^3 300kHz １ｋｍ MF 中波 10^2 3MHz HF 短波 10^1 30MHz VHF 超短波 10^0 300MHz １ｍ UHF 極超短波 10^-1 3GHz SHF センチ波 10^-2 30GHz EHF ミリ波 10^-3 300GHz １ｍｍ サブミリ波 10^-4 3THz 遠赤外 10^-5 30THz 赤外 10^-6 300THz １μｍ/１eV 近赤外 可視光線 紫外 10^-7 3PHz 　 10^-8 30PHz 　 10^-9 300PHz １ｎｍ/１keV 　 10^-10 Å ｵﾝｸﾞｽﾄﾛｰﾑ Ｘ線 10^-11 　 10^-12 １ｐｍ/１MeV 　 10^-13 γ線 10^-14 　 10^-15 １GeV

  電波周波数帯の英字呼称は国際電気通信条約無線規則 波長〜10^−4〜10^5ｍ程度を電波 そのうち１ｍ以下をマイクロ波 380ｎｍ〜770ｎｍを可視光線 ３ｐｍ〜700ｐｍ：0.7ｎｍをＸ線 30ｆｍ前後の領域をγ線 可視光線波長 波長 ｎｍ 色 備考 380 紫外線 紫 430 青 490 緑 555ｎｍが中心 550 黄 589＆589.6ｎｍ Ｄ線 590 橙 640 赤 　 　 770 赤外線 Ｄ線：589〜589.6nｍの単色光：低圧ナトリウムランプの発色 可視光線の境界には個人差がある 波長×振動数＝伝播速度 　 光速ｃ＝波長ｍ×周波数Hz 　　　　 ＝３×１０8ｍ／ｓ