'03年1回再試数学2A解答
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Last update: 2005/10/22
(05/07/07作成)
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【共通問題】
[1]1.8
(3/2)×(1/√2)の値は[アイ]である。
[解]:8
(3/2)=√(8×8×8)=√(2
33)=√(2
9=2
4・√2)だから
与式=2
4・√2×(1/√2)
=16=[アイ]
[1]2. log
575-(1/2)log
59の値は[ウ]である。
[解]:
(1/n)logaX=logaX(1/n) だから
(1/2)log
59=log
59
(1/2)=log
53
∴与式=log
575-log
53
=log
5{(5
2×3)/3}
=2=[ウ]
[1]3. tan(-405°)の値は[エオ]である
[解]:tan は
180度毎の周期函数なので、360度~540度を加算しても同値。
∴tan(-405°)=tan(-45°)=tan(135°)
=-1=[エオ]
【参考図】 tan θ 参照
[1]4.下のグラフは、函数 y=cos x のグラフを x 軸方向に平行移動したものである。この曲線をグラフとする函数として適当なものを次の(1)~(4)から1つ番号を選べ
(出題グラフは正弦波で、90度で1,0度で0を通り、0度~90度で1/4波長である)
[解]:cos(90度+X
0)=1 だから、90度+X
0=0
即ち、X
0=-90度。y=cos(x-90度) …………(x=90度で1:(3))
(1). y=cos(x+90度)
(2). y=cos(x+180度)
◎(3). y=cos(x-90度)
(4). y=cos(180度-x)
[2]座標平面上に3点A(8,0)、B(0,6)、C(0,0) がある。このとき次の(1)~(4)の各問に答えよ。
[問]1.:線分ABの中点の座標は
(ア,イ)である。
[解]1.:中点のx座標は (8+0)/2=4、
y座標は (0+6)/2=3
即ち
(4,3)である。
[問]2.:2点AB間の距離は[ウエ]である
[解]2.:3平方の定理より、AB
2=BO
2+AO
2、BO=6,AO=8 だから、
AB
2=6
2+8
2=100
AB=√100
=10=[ウエ]
[問]3.:直線ABの方程式は y=[オカ]/[キ]・x+[ク] である。
[解]3.:勾配=(0-6)/(8-0)=-3/4、y切片=6だから方程式は
y=[
-3]/[
4]・x+[
6]
[問]4.:3点ABOを通る円の方程式は
(x-[ケ])
2+(y-[コ])
2=[サシ] である。
[解]4.:∠AOB=∠R:直角 だから、ΔAOBは直角三角形で、その斜辺は外接円の直径である。(直径を見込む角=直角)。従って辺AB(=外接円直径)の中点が外接円の中心である。その座標は(1)で求めた通りで、直径が(2)で求めた10 なので、半径は5、半径
2=25。
∴求める円の方程式は
(x-[
4])
2+(y-[
3])
2
=[
25]
[3].函数 y=x3-3x+1 について、次の(1)~(3)の各問に答えよ。
[問]1.:導関数 y’ を求めると、
y’=[ア]x2-[イ] になる。
[解]1:そのまま微分して
y’=[3]x2-[3]
[問]2.:この函数は x=[ウ]のとき極小となり、極小値は[エオ]である。
[解]2:導関数が0になる点が
極値(極大&極小)。
その点の第2導関数が負で極大、正で極小と判断できるから解1の結果より
y’=3x2-3=3(x2-1)=0、∴x=±1で極値
y
''=6x で、y
''(+1)=+6
>0 :+1で極小、
y
''(-1)=-6
<0 なので、-1で極大
極小値は y(+1)=(+1)
3-3(+1)+1
=-1
極大値は y(-1)=(-1)
3-3(-1)+1=+3
x=[
1]のとき極小となり、極小値は[
-1]である。
[問]3.:この関数のグラフとx軸との共有点のうち、
そのx座標が正であるものは[カ]個ある
[解]3:「x軸との共有点」とはy=0の点であり3次方程式の解を求めている。
3次方程式の一般解はないが、3次の係数の正負で全体の勾配の正負が決まり、
根(解)の個数は1~3個で、その範囲の正負を聞いているので、
x=0のときの関数の正負が判ると3点と±∞の正負が判る。
y(0)=+1 だからグラフの概形は、
y(-∞)=-∞、y(-1)=+3、y(0)=+1、y(+1)=-1、y(+∞)=∞
の略図から、交点=根は負側に1,正側に2個、
[カ]=[2]個となる。
[4]1.不定積分
∫(-9x2+6x-2)dx を求めると、
[アイ]x3+[ウ]x2-[エ]x+C (但し、Cは積分定数)
[解]:与式
=[-3]x3+[3]x2-[2]x+C
[4]2.定積分
∫3-3(x2+1)dx を求めると[オカ]になる。
[解]:与式=[(1/3)x
3+x]
3-3
=[9+3]-[-9-3]
=24=[オカ]
[4]3.右の図は放物線 y=x
2-x-2 と、
直線 y=x+1
を示したものである。
放物線と直線およびy軸で囲まれた斜線部(x≧0)の面積をSとするとき、次の(1)~(4)のうちから適当なものを選べ。番号[キ]
(1).
S=∫03(x2-1)dx
(2).
S=∫03(-x2+1)dx
(3).
S=∫03(x2-2x-3)dx
(4).
S=∫03(-x2+2x+3)dx
[解]:題意の2次式のグラフと直線との交点では、両方のx、yの値が等しいから
x
2-x-2=x+1
即ち x
2-2x-3=0
因数分解すると (x+1)(x-3)=0 だから、x=-1、x=3 で交わる。
(又は根の公式より x={1±√(1+3×1)}/1=3 or -1 で交わる)
題意から、xの範囲はこのうちのx=0~x=3 で、
2次式の2次の係数が正だから下に凸。
∴面積を求めるには、直線から2次式を引いた値がyの瞬時値、すなわち
y=(x+1)-(x
2-x-2)
=-x
2+2x+3 だから
面積
S=∫03(-x2+2x+3)dx
すなわち、
[キ]=[4]
面積計算すれば、S=[-x3/3+x2+3x]03
=(-9+9+9)-(-0+0+0)=9 だが、
題意は面積そのものは求めていない。
[5]1. 3x2+7x-6 を因数分解すると、
([ア]x-[イ])(x+[ウ]) になる。
[解]:
([3]x-[2])・(x+[3])
[別解]:根の公式から解くのは、面倒
x={-7±√(7
2-4・3・(-6))}/(2×3)
={-7±√(49+72)}/(2×3)={-7±√(11
2)}/(2×3)
=4/6 or -18/6
=2/3 or -3
従って与式=3(x-2/3)(x+3)=
(3x-2)・(x+3)
[5]2. x=1のとき、|1-3x|+|x+1|の値を求めると、[エ]になる.
[解]:絶対値(||)はy=0を境に極性が反転する訳だから、
左辺||=0は 3x=1、x=1/3 を境界に 1>1/3 では逆極性で y=3x-1
同様に右辺は x+1=0、x=-1を境に 1>-1 の範囲は y=x+1
従ってx=1での原式=(3x-1)+(x+1)=
4=[エ]
y=|1-3x|+|x+1| の実態(cf.)
x範囲 | | 左辺 | 右辺 | | 総和:y=
|
---|
| |
|
---|
x<-1 | 1-3x | -x-1 | -4x
|
---|
-1<x<1/3 | x+1 | -2x+2
|
---|
1/3<x | 3x-1 | +4x
|
---|
[5]3. {2+√3}/{2-√3} は分母
を有理化すると[オ]+[カ]√[キ] になる
[解]:分母が{2-√3}だから、分子、分母双方に {2+√3} を掛けると、
与式=4+3+4√3
=7+4√3
展開公式の、(A+B)(A-B)=A2-B2 を使うと分母の√をなくすことができて、数値計算が楽になる。この様に分子・分母に同数を掛けて(=1を掛けて)分母から無理数(この場合平方根号)を無くす変換操作を「分母の有理化」という。
[5]4.整式 2x
3+3x
2+5x+6 を
2x+1 で割ると、商は
x
2+x
+[ク]で、余りは[ケ]になる。
[解]:商:x
2+x+[
2]、余り[
4]
(計算は右図)
[6]1.
を計算すると
[アイ]になる。
[解]:k=1 で 2k+1=3、
2で5、3で7、4で9、5で11、
6で13だから
計=(3+13)×6項/2
=48=[アイ]
(Σの意味と、等差級数の和の計算)
[6]2.等差数列 58,52,46,…… がある。
(1).この数列の第n項をnの式で表すと[ウエ]n+[オカ]になる。
(2).この数列において、はじめて負になる項は第[キク]項である。
[解]:公差=46-52=52-58=-6、初項58=-6×1+C、∴C=58+6=64
∴第n項
=-6n+
64 ……解(1)
-6n+64<0 6n>64 n>32/3≒10.6666
nは整数値だから、
n=11 ……解(2)
[6]3.初項が2,第4項が54である等比数列がある。この数列の第2項は[ケ]である
[解]:公比をaとすると、2a
(4-1)=54 だから a
3=54/2=27=3
3
∴a=3=[ケ]
[6]4.a1=1,an+1=an+n2 (n=1,2,3,4 ……) で定まる
数列{a
n}がある。
この数列の第4項は[コサ]である。
[解]:n=1で 1項=1
n=2で 2項=1+1
2=2
n=3で 3項=2+2
2=6
n=4で 4項=6+3
2=15=[コサ]
[7]1.
[解]:
[7]2.
[解]:
[8]1.
[解]:
[8]2.
[解]:
[8]3.
[解]: